Radiación del cuerpo negro: parte II

En la primera parte de esta serie de artículos donde estudiamos de la radiación del cuerpo negro, llegamos a la siguiente expresión:

(5)

Para nuestro ejemplo de cuerpo negro, esto significa que la radiancia total emitida por el orificio de la cavidad (sumando el valor de todas las frecuencias posibles) a cierta temperatura T, es igual a c /4 veces la densidad de energía electromagnética total contenida en su interior (siendo c la velocidad de la luz).

En 1899, aún no se conocía la forma analítica exacta para R(v, T), pero sí se disponían de precisas medidas experimentales, realizadas por O. Lummer y E. Pringsheim, las cuales permitieron conocer la forma de dicha función (mediante su representación gráfica espectral):

Hay que recordar que esta gráfica para R(v, T), es independiente de los materiales, propiedades y forma del cuerpo negro en estudio. No importa el modo en que esté construido un cuerpo negro, siempre emitirá radiación en equilibrio del modo señalado en la gráfica anterior. También es importante observar cómo el máximo de radiación se desplaza hacia la derecha (altas frecuencias), conforme aumenta la temperatura de estudio.

Buscando las leyes de radiación del cuerpo negro.

Y así se encontraba el estudio del cuerpo negro a finales del siglo XIX. Se conocía a la perfección las leyes del electromagnetismo (gracias al trabajo de James Clerk Maxwell), pero aún no se conocían las leyes tras este comportamiento universal observado en la radiación del cuerpo negro. Y aunque puede parecer algo quizás trivial, este desconocimiento del que hablamos, suponía en aquella época uno de los pocos problemas aún no resueltos en física. De ahí que se pusiera tanto interés, ya que por aquel entonces se pensaba que la física daría explicación de todo los fenómenos en pocos años, una vez se entendiesen los pocos problemas que quedaban por resolver. No podían imaginar, que resolver este problema en concreto, abriría las puertas de una nueva física que revolucionaría el mundo.

Así pues, tras las medidas empíricas de O. Lummer y E. Pringsheim, se conocía la forma de la función R(v, T), y se conocía la relación expresada en (5), pero aún no se conocía la expresión analítica exacta de la función de radiación del cuerpo negro R(v, T), ni tampoco la expresión analítica exacta para calcular la densidad espectral de energía electromagnética p(v, T). 

En 1879, se enunció la conocida ley de Stefan-Boltzmann, la cual afirma que:

 (7)

donde a es una constate. Es decir, que la cantidad total de energía radiada por un cuerpo negro en equilibrio, aumenta con la cuarta potencia de su temperatura absoluta.

Catástrofe ultravioleta.

En la búsqueda de la expresión analítica que diera cuenta de los resultados experimentales, se pusieron en práctica todos los conocimientos de física clásica habidos hasta la fecha. Dos físicos, Rayleigh y Jeans, derivaron, por fin, una solución completa del problema, a partir de los conocimientos disponibles. No voy a detallar aquí todo el procedimiento seguido, pero es importante señalar que partieron de una base física establecida, y que por lo tanto, la expresión inferida para la función de densidad de energía debía ser correcta (puesto que se repasaron concienzudamente las matemáticas y no había errores en el proceso).

Se llegó así a la fórmula de Rayleigh-Jeans:

 (8)

Esta fórmula teorizada, realmente guardaba buen acuerdo para frecuencias bajas, sin embargo, la dependencia cuadrática con la frecuencia (v^2), predecía una cada vez mayor cantidad de energía radiada conforme aumentaba la frecuencia. Es decir, que de ser cierta la fórmula, para frecuencias altas (como los rayos X emitidos por cualquier horno o pedazo de hierro incandescente), la emisión de energía literalmente abrasaría cualquier cosa que se encontrase cerca, cosa que evidentemente no ocurre.

Esta flagrante contradicción entre lo teorizado por la física clásica, y lo observado experimentalmente, supuso lo que P. S. Ehrenfest denominó "la catástrofe ultravioleta".

Fórmula de Planck.

Fue Planck quien, en 1900, dio un paso decisivo trabajando mediante tanteo sobre los datos experimentales. En resumen, lo que hizo fue buscar mediante interpolación una fórmula analítica que aproximara los datos experimentales. Tras mucho trabajo, llego a la siguiente función semiempírica:

 (9)

donde a va a depender linealmente de la frecuencia (a = Av), siendo el valor de A ajustado a mano de modo que cuadren con los resultados experimentales. La bondad de esta ecuación (9) era extraordinaria, y cuadraban perfectamente con las medidas empíricas de O. Lummer y E. Pringsheim. Sin embargo, como hemos visto, dicha función no disponía de un soporte teórico tras ella.

Teoría de Planck del cuerpo negro.

Para conseguir una teoría que diese cuenta de su fórmula, Planck se apoyó en la interpretación estadística del concepto de entropía. A muy grosso modo, decir que Plank supuso que las paredes de la cavidad del cuerpo negro estaban formadas por un número muy grande N de osciladores armónicos que intercambian energía. A partir de ahí, aplicó el concepto de entropía para conocer el modo en que esa transferencia de energía iría transcurriendo con el tiempo, y postuló que el intercambio de energía entre los osciladores se hace en paquetes del tipo:

Et = n·e  (10)

La idea era pasar posteriormente al límite cuando e tiende a infinito, y calcular así el intercambio infinitesimal de energía entre los N osciladores. Actuando de este modo, Planck dedujo la energía promedio según la frecuencia y la temperatura de estudio:

 (11)

La cuestión fundamental, es que el paquete de energía e postulado en (10), y que se pretendía hacer tender a cero, es proporcional a v, por lo que: e = h·v, siendo h la llamada constante de Planck, cuyo valor es 6.626*10^-34. ¡¡Pero no se puede fijar la frecuencia v de estudio, y hacer tender a cero al mismo tiempo el tamaño del paquete de energía!! Por lo tanto, la energía siempre se debe transferir de un modo finito y discreto: la cuatización de la realidad física se hizo patente.

Concretamente, los valores de energía que puede poseer un oscilador armónico elemental, será:

Et = n·e = n·h·v,   n=0,1,2,... (12)

Y por último, sólo queda utilizar esa función de energía promedio E(v, T), para llegar a la deseada expresión analítica de la densidad espectral de energía del cuerpo negro:

 (13)

La física cuántica había nacido...