Radiación del cuerpo negro: parte I

Siguiendo el libro Física Cuántica, coordinado por el profesor Carlos Sánchez del Río, y preparado para los alumnos de física de la Universidad Complutense de Madrid, me he topado con un tema dedicado en exclusiva a lo que se puede decir que fue el pistoletazo de salida de la teoría cuántica: la radiación del cuerpo negro.

Esto me ha animado a realizar una serie de artículos donde voy a intentar transmitir, a mi modo y en profundidad, el estudio del cuerpo negro, el cual llevó a lo que se conoce como la catástrofe ultravioleta, y que supuso un inicio inesperado para la cuantificación en física. Y aunque serán artículos de divulgación, no dejaré de lado las matemáticas como suele ser habitual. No hay que tener miedo: las matemáticas no son más que un lenguaje humano más, y cualquier dificultad que nos podamos encontrar, no será muy diferente de aquellas que se pueda tener al aprender un nuevo idioma: es cuestión de aprender el significado de los símbolos y las reglas asociadas.

Radiación térmica.

Para comprender cómo la llamada radiación del cuerpo negro llevó a la teoría cuántica, primero es necesario saber qué es la radiación, y posteriormente entender qué se entiende por radiación del cuerpo negro.

Imagina que te encuentras en una habitación cerrada a oscuras. No entra luz por ninguna parte y sólo hay oscuridad. Si de repente comienzas a calentar, por ejemplo, un trozo de hierro en esa habitación oscuras, verás como el hierro empieza a brillar y a alumbrar (por ejemplo, como cuando enciendes una estufa). Esa luz (ondas electromagnéticas) que emana del hierro caliente, es radiación térmica.

Por lo tanto, observamos empíricamente que, siempre que se calienta cualquier material sólido, dicho material comienza a irradiar ondas electromagnéticas en todas direcciones. Y aunque sólo vemos esas ondas electromagnéticas radiadas cuando dichas ondas poseen una frecuencia dentro del rango del espectro visible del el ojo humano (incandescencia), en realidad todos los cuerpos se encuentran continuamente emitiendo ondas (la mayor parte de la radiación emitida por un cuerpo resulta invisible para nosotros).

Por lo tanto, en la habitación a oscuras imaginada anteriormente, veremos el hierro cuando la temperatura del mismo lo lleven a irradiar en una frecuencia dentro del espectro visible (ya antes de calentarse, el hierro se encontraba radiando, sólo que a una frecuencia la cual no podíamos ver). Una vez que el hierro se vuelva incandescente, la reflexión de las ondas emanadas de él sobre el resto de cuerpos no incandescentes que hay en la habitación, nos permiten vislumbrar el resto de cuerpos, aún sin que emitan ellos mismos en el rango visible.

En resumen: Todos los sólidos emiten continuamente ondas electromagnéticas. Dichas ondas tendrán una frecuencia mayor o menor, en relación directa con la temperatura del cuerpo que las emite.

Cuerpo negro.

Cuando un sólido recibe el impacto de una onda electromagnética, dicha onda puede ser reflejada o absorbida por el cuerpo. En caso de que la onda sea absorbida, eso supondrá un cambio en la temperatura del sólido, lo que conllevará a su vez un cambio en la frecuencia y en la cantidad de ondas térmicas radiadas por el sólido.

Supongamos ahora el intercambio energético que tiene lugar entre un cuerpo suspendido, y las paredes de un recinto que lo contiene (como la bola colgante de la siguiente figura):

Parte de las ondas que recibe el cuerpo serán reflejadas y otra parte serán absorbidas. Si suponemos las paredes del recinto aisladas del exterior, el intercambio energético llevará con el tiempo al equilibrio térmico, cosa que ocurrirá cuando el cuerpo emita la misma cantidad de energía que absorba (en forma de radiación).

Para cada valor infinitesimal de frecuencia dv, habrá una cierta cantidad de radiación incidente por unidad de volumen sobre el cuerpo dentro del recinto (la bola). Esa cantidad se denomina irradiancia espectral Iv. De toda esa radiación incidente Iv, hemos visto que una parte se absorbe. Dicha fracción de Iv absorbida se llama poder absorbente y se denota por a.

La cantidad de radiación que este cuerpo (la bola) emite por unidad de área se denomina radiancia espectral y se designa por Rv. Cuando las paredes aisladas y el cuerpo se encuentran en equilibrio térmico, se observa que se cumple la siguiente ecuación sea cual sea el valor infinitesimal de frecuencia elegido:

R = a·I    (1)

R / a = I       

Esta ecuación viene a decir que la cantidad de radiación de frecuencia v que el cuerpo va a emitir en el equilibrio, va a ser igual que la fracción de radiación incidente absorbida (y no reflejada). O, en otras palabras, que la proporción ente la cantidad de radiación emitida y la cantidad absorbida, debe ser igual al total de radiación incidente (contando la absorbida más la reflejada).

Teniendo en cuenta que el habitáculo del ejemplo que estamos tratando está cerrado (y las ondas irán emitiéndose en todas direcciones y reflejándose con las paredes de un modo arbitrario), la cantidad de radiación que varios cuerpo diferentes colocados en el interior van a recibir por unidad de volumen (I) va a ser la misma, por lo tanto, tenemos que:

I = R1 / a1 = R2 / a2 = ... = Rn / an    (2)

Es decir; que cuando el habitáculo alcance el equilibrio térmico, la proporción entra la radiación emitida y absorbida por cualquier cuerpo en su interior va a ser la misma,  e igual a I, la cantidad total de ondas incidentes en los cuerpos (contando las absorbidas y las reflejadas).

Pues bien; cuando nos encontramos con un cuerpo que absorbe todas las ondas que recibe (a = 1), no reflejando, por tanto, ninguna, decimos que estamos ante un cuerpo negro. Para ellos, siempre se cumple en el equilibrio que la cantidad de radiación emitida es igual a la total recibida:

R = I    (3)

Cómo estudiar un cuerpo negro.

Desde un punto de vista práctico, la mejor forma de conseguir estudiar el comportamiento de un cuerpo negro (un cuerpo con poder absorbente perfecto), es mediante el siguiente método:

Partimos de una cavidad cerrada mantenida a temperatura constante y aislada del exterior. Practicamos a continuación un orificio pequeño a la cavidad, de modo que pueda penetrar dentro del habitáculo radiación desde el exterior. Tras n reflexiones con las paredes de la cavidad, finalmente todas las ondas electromagnéticas que entren en el habitáculo serán absorbidas (y si el orificio es pequeño, la probabilidad de que parte de la radiación incidente salga por dicho agujero tras una reflexión y sin llegar a ser absorbida será muy pequeña).

Como toda la radiación incidente (I) es absorbida por las paredes, el poder absorbente será perfecto (a = 1), y por lo tanto, toda la radiación que emane del orificio será emitida por la cavidad. De modo que el orificio se comporta como un cuerpo negro. Esto quiere decir que toda la radiación que emana del orificio es radiación térmica propia (R), ya que toda la radiación externa que incide en el orificio (I) es absorbida y desaparece.

Densidad espectral de energía electromagnética.

En el recinto cerrado que estamos tratando, continuamente entran ondas electromagnéticas por el orificio, las cuales comienzan a reflejarse por las paredes, hasta que finalmente son absorbidas. Las propias paredes, tras absorber estas ondas, verán modificadas su temperatura, lo que llevará a la emisión de nuevas ondas electromagnéticas, que también empezarán a rebotar por el receptáculo. Por lo tanto, en un momento dado, tendremos una cierta cantidad de radiación rebotando dentro de la cavidad, lo cual supone una determinada cantidad de energía electromagnética en el interior.

Para estudiar esta cantidad de energía electromagnética, se suele utiliza una función de densidad espectral, la cual hace depender esta energía interna a la cavidad a dos variables: la frecuencia concreta de las ondas que queremos tener en cuenta, y la temperatura del habitáculo.

 (4)

Según sea la temperatura (T) en el interior del recinto cerrado, para cada frecuencia v vamos a tener un valor distinto para la cantidad de energía contenida (a esa frecuencia). Por ejemplo, a una temperatura fija de 5K (5 grados Kelvin), en el interior tendremos una cierta cantidad de energía electromagnética conformada por ondas con una frecuencia de 10^10 Hz, otra cantidad distinta de energía conformada por ondas de 10^20 Hz, etc. La función de densidad espectral, será así una función analítica capaz de decirnos la energía contenida en la cavidad, para cualesquiera par de valores T, v.

La radiación que sale por el orificio de nuestro cuerpo negro (que ya hemos visto que no es la misma radiación que entró, la cual fue absorbida), va a estar relacionada con esta densidad de energía del interior de la cavidad. Si partimos, por comodidad, de un orificio de área igual a la unidad, y teniendo en cuenta que las ondas saldrán del interior a la velocidad de la luz c en cualquier dirección; al calcular la cantidad de energía radiante que atraviesa hacia fuera el orificio en todas las direcciones posibles por unidad de tiempo (dt = 1)  en un ángulo sólido de 2·pi (conformando así un hemisferio similar a lo que quedaría si cortásemos la Tierra por la mitad, y si la base de esa Tierra cortada fuese el orificio), obtenemos que:

 (5)

Es decir; que para cada par de valores de frecuencia y temperatura, la cantidad de energía radiada por el orificio será igual c / 4 veces la densidad de energía en el interior de la cavidad. Se constata así una relación directa entre la densidad de energía interna en la cavidad, y la energía radiada por el orificio.

Se observa, además, que la relación (5) se cumple para todo cuerpo negro en equilibrio, independientemente de las propiedades del material que lo conforme y de la forma del cuerpo. Esto significa que el espectro de radiación emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico (la gráfica de la función R(v, T)) posee características universales. Un cuerpo negro siempre va a emitir la misma cantidad de radiación para una determinada temperatura y frecuencia. Esto supone que la gráfica de emisión para un cuerpo negro en equilibrio es siempre la misma:

Creo que es importante repetir de nuevo que siempre se obtienen experimentalmente los mismos valores empíricos mostrados en esta gráfica, sea cual sea el cuerpo negro de estudio, y sea cual sea el tipo de ondas electromagnéticas incidentes al mismo. La emisión siempre será la misma y dependerá únicamente de la temperatura del cuerpo negro (y de la frecuencia concreta que se estudie en un momento dado).

Si integramos ahora (5) para todas las frecuencias posibles, conseguimos una función analítica para la cantidad de energía emitida por el cuerpo, la cual sólo va a depender de la temperatura. El resultado de esta integración no es más que la función que queda, una vez trabajamos sobre ella dejando fija la variable T, y sumando la densidad de energía para cada valor infinitesimal posible en la frecuencia:

 (6)

En nuestro ejemplo de cuerpo negro, esto significa que la radiancia total emitida por el orificio de la cavidad (sumando el valor de todas las frecuencias posibles) a cierta temperatura T, es igual a c /4 veces la densidad de energía electromagnética total  contenida en su interior (sumando también el valor de la densidad para cada frecuencia posible).

Lo dejamos aquí de momento. En el próximo artículo veremos como el esfuerzo a finales del siglo XIX por encontrar la expresión correcta para la función , condujo finalmente a una contradicción entre lo que la física clásica preveía, y lo que los resultados experimentales mostraban (catástrofe ultravioleta).

Referencia utilizada:

Física Cuántica. Ediciones Pirámide (1999)
Coordinador del libro: Carlos Sánchez del Río.