Introducción a la teoría cuántica de campos (QFT) (II)

"There are no real one-particle systems in nature, not even few-particle

systems. The existence of virtual pairs and of pair fluctuations shows that

the days of fixed particle numbers are over."

(Viki Weisskopf)

Ayer terminé de seguir el curso que el profesor Leonard Susskind impartió para la Universidad de Stanford hablando sobre una introducción a la teoría cuántica de campos (Quantum Field Theory - QFT). La lectura es bastante amena y fácil de entender (desde un punto de vista matemático), pero a pesar de esta sencillez el profesor es capaz de transmitir la base esencial de la que es actualmente la teoría física más precisa y avanzada de la que disponemos: el modelo estándar de partículas. Podéis acceder a estas 10 charlas desde YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=2eFvVzNF24g.

El curso completo es excepcional, pero el último de los vídeos es realmente extraordinario. El vídeo es el siguiente y os lo recomiendo con mucho énfasis:

Hace unos meses ya os intenté transmitir una introducción a la QFT en esta entrada, pero creo que me quedó demasiado formal y matemática. Con el anterior vídeo (con el curso completo en realidad) me gustaría que aquellos que no llegaron a entender del todo lo que quise transmitir en aquel momento, puedan comprender el asunto ahora de una manera más cualitativa e interpretativa.

Un símil sobre la propuesta que se esconde tras la QFT.

Para entender la propuesta de la física moderna de partículas creo que es interesante pensar en el siguiente símil que, aunque no es ni de lejos exacto, creo que puede valer para que nos hagamos una idea de lo que propone la teoría cuántica de campos:

Pensemos por un momento en la superficie de una piscina llena de agua. Pues bien, eso se puede entender como el equivalente de un campo en física: una representación formal mediante la cual a cada posición del espacio y el tiempo se le asigna una propiedad o valor. En el caso de la superficie de la piscina el valor de cada posición infinitesimal de la misma puede venir representado por ejemplo con la altura de la cresta del agua en cierto lugar (y momento).

La superficie del agua en toda la piscina conforma una figura ondulada con valles y crestas, y dicha apariencia puede ser matemáticamente formalizada por lo que se conoce como la función del campo: una manera de describir la situación actual de la superficie de toda la piscina de tal manera que es posible describir la altura de cualquier posición de la misma. Por ejemplo, podemos trabajar matemáticamente con esa función φ(x, t) y pedirle que nos diga que altura tiene el agua en la posición (x=5, y=4.3) en cierto momento t. La función retornará un valor con la altura, por ejemplo: 1 mm (lo de utilizar milímetros es una licencia que me tomo con fines de claridad argumental).

Continuemos con otra analogía de la que nos vamos a servir: el hecho de que esta altura de la onda en cada posición infinitesimal de la superficie de la piscina nos va a indicar cuántas partículas y con qué momento (energía) hay en esa posición x de la misma. En realidad la situación incluso cualitativamente es más complicada, y lo que nos va a interesar son dos parámetros de la onda en cierta posición: su altura y el modo en que vibra. La altura va a representar el número de partículas (a más altura más partículas habrá), mientras que el modo en que la onda se encuentra vibrando en ese lugar va a indicar la velocidad (momento o energía) de todas esas partículas.

Mira el ejemplo del gráfico de arriba y quédate con la parte azul. Imagina que observamos el agua en cierto punto y que existe allí una cresta de altura igual a 3 mm. Esto nos indica que allí hay 3 partículas. Luego miramos la frecuencia a la que vibra la onda en ese punto (por ejemplo: 2.0 hercios (Hz)) y eso nos indica la velocidad (el momento en realidad) de cada una de esas 3 partículas.

Y eso es todo. Cuando sólo hay partículas de un tipo y cuando no interaccionan unas con otras, esa superficie de la piscina y esa función φ(x, t) nos dan toda la información que podemos captar del mundo microscópico. Una piscina tranquila, casi sin "oleaje" ni ondulaciones en la superficie se corresponde con un espacio de vacío cuántico; donde no hay partículas aunque sí energía (la energía del vacío cuántico que se corresponde con la de un oscilador armónico simple en su estado fundamental). Donde no hay partículas por tanto tenemos aún así una minúscula cresta de agua fluctuando con la mínima energía.

Por otra parte, si en cierto lugar de la piscina perturbamos el sistema lanzando por ejemplo una piedra, provocaremos en ese punto grandes ondulaciones. Ese hecho se puede interpretar como que la energía que poseía la piedra ha inducido la creación de numerosas partículas que se desplazarán por toda la piscina vibrando a gran frecuencia. Y cuanta más energía posea la piedra (ya sea porque posea más masa o más momento), mayor será la agitación de la piscina: es decir; más partículas se crearán y más velocidad llevarán.

¡De hecho esto es precisamente lo que hacen en el acelerador de partículas del LHC en el CERN! Hacen colisionar partículas con una velocidad tan alta (cercana a la máxima velocidad de la luz) que la perturbación en los campos cuánticos es explosiva. Decenas de miles de partículas "nacen" tras la colisión y posterior desintegración de sólo 2 partículas iniciales (hadrones).

Diferentes tipos de piscina.

Hemos hablado sobre las crestas y los valles de una piscina de agua, y hemos dicho que eso se corresponde con el concepto de campo, pero en realidad se corresponde con el concepto de un campo. En el mundo físico real existen simultáneamente cientos de campos físicos. Puedes imaginar, por ejemplo; que nuestra piscina de agua se corresponde con el campo cuántico de los fotones. Pero hay un campo distinto para cada partícula existente. Así pues, debemos extender nuestra analogía y pensar en la existencia de muchos otros tipos de piscina.

Una piscina llena de aceite, por ejemplo; podría representar a los electrones. Una piscina llena de mercurio podría representar a los bosones W y Z, etc. Lo importante del asunto es comprender que cada campo responde de manera distinta a las perturbaciones porque cada campo posee unas cualidades físicas esenciales distintas. Es decir; que la piedra de antes que sobre la piscina de agua provocó alta perturbación, provocará una perturbación muy distinta sobre la piscina de mercurio.

Se conocen hoy día cientos de partículas fundamentales por lo que debemos hacernos a la idea de que existen cientos de tipos de piscinas "conviviendo" e interaccionando en cada punto infinitesimal del espacio. Así pues debemos pensar nuestra realidad como si estuviésemos sumergidos en una combinación (no mezclada) de fluidos que se "molestan" unos a otros produciendo cambios de oleajes que podemos interpretar como destrucción de partículas de cierto tipo de campo y apariciones de partículas de otro tipo de campo.

Para entender ésto imagina el siguiente caso: nuestra piscina contiene dos tipos de líquidos que no se pueden mezclar (agua y aceite, pongamos por caso). Toda la agua conformaría por ejemplo el campo cuántico de los fotones, y todo el aceite sería el campo cuántico de los electrones. Vayamos a la superficie. Si todo el líquido está carente de olas (no hay crestas ni valles), podemos aventurar que en la piscina no hay partículas (vacío cuántico). Imagina ahora que producimos una pequeña perturbación en el aceite en las posiciones x e y. Si la perturbación es lo suficientemente pequeña lograremos la creación y posterior desplazamiento de dos pequeñas crestas de aceite de altura 1mm (que hemos supuesto que corresponde con la creación de 1 sólo electrón en x y otro único electrón en y). Pues bien, conforme esas dos crestas independientes de aceite se desplazan, llegará el momento en que se puedan aproximar una a la otra. Cuando estén a cierta distancia d, comenzará a ser probable la ocurrencia de un curioso fenómeno de interacción entre el aceite y el agua. En concreto, es posible que en cierto momento la distancia d sea tal que permita un acoplamiento entre una cresta "virtual" de agua (un fotón "virtual") y las dos crestas de aceite (los dos electrones). Precisamente este acoplamiento haría las veces de repulsión entre las dos crestas de aceite puesto que podemos imaginar como si la cresta de agua "virtual" se interpusiera entre las dos crestas de aceite y las "empujara" hacia direcciones opuestas.

Pero hay que dejar muy claro que se trata de una cresta "virtual", puesto que su aparición supone una violación de la conservación de la energía: en el caso descrito una partícula de agua (un fotón) salió de la nada y se interpuso entre los electrones, y por lo tanto la duración en la existencia de dicho fotón tuvo que ser tan pequeña que la Naturaleza no lo "notó" (gracias al principio de incertidumbre de la mecánica cuántica).

Este caso de ejemplo que acabamos de comentar supone la base teórica de la QED (Quantum electrodynamics-electrodinámica cuántica), y describe como entiende la física de partículas del modelo estándar lo que antiguamente en mecánica clásica se entendía como la fuerza a distancia de repulsion de Coulomb entre partículas con carga.

El bosón de Higgs.

Si alguna vez te has preguntado qué es en realidad el tan cacareado bosón de Higgs, ahora lo puedes entender como un nuevo tipo de campo (otro tipo de contenido líquido en nuestra piscina). Y no tiene gran cosa de especial a parte de tratarse de un campo con la propiedad de poder acoplarse e interaccionar con casi todos los demás campos. De hecho, es esta cualidad tan especial la que produce que el resto de partículas masivas conocidas posean dicha masa. Es decir, que es por ejemplo la interacción del campo del electrón con el campo de Higgs lo que produce que el electrón posea masa (resistencia al movimiento). Puedes imaginar el proceso como que continuamente una cresta de aceite se ve afectada en cada paso por una cresta "virtual" de Higgs (muy importante lo de virtual), lo que le impide entonces al electrón el movimiento a la máxima velocidad de la luz c. Las diferentes masas de las partículas se explican así según sea la frecuencia o probabilidad con la que estas interacciones con el campo de Higgs se producen. Si el acoplamiento entre ambos campos es alto la masa será alta (porque ocurrirán muchos más eventos de interacción en el tiempo).

¿Y qué fue entonces lo que descubrió el LHC? ¡Pues descubrió una partícula real de Higgs! Y es que, aunque hemos dicho que existe un infinito campo "virtual" de bosones de Higgs pululando alrededor de cada partícula real (masiva), dada esta virtualidad no son observables por definición. El LHC fue capaz de invertir la suficiente energía de colisión como para sacar a un bosón de Higgs real de su campo (produciendo uno de esos pesados bosones al lograrse perturbar lo suficiente el "líquido" del campo de Higgs y crear una cresta a la altura de 1 mm que hemos venido utilizando como símil). Hasta la llegada del LHC sencillamente no disponíamos de la suficiente capacidad de choque como para alterar lo suficiente ese campo de Higgs que lo cubre todo. Lo mismo se supone que podría ser cierto para otras partículas que aún no hemos logrado detectar ni siquiera con los 14 TeV del LHC.

La dinámica de los campos.

Cuando uno mira la superficie de una piscina "alterada" es evidente que existe una dinámica en el movimiento ondulado del conjunto. Valles y crestas se mueven siguiendo un patrón muy concreto y en ocasiones predecible a primera vista. Los campos físicos de la realidad también siguen una dinámica muy concreta y de características similares a la del símil del agua con la que venimos trabajando. En concreto, los diferentes campos poseen una dinámica que favorece aquellos estados de mínima acción.

Imagina la superficie de la piscina en cierto tiempo t1 (como si echaras una foto a la misma). La pregunta que nos podemos hacer es: de entre todos los posibles estados finales que puede presentar la piscina transcurrido cierto intervalo de tiempo (t2-t1), ¿cuál será el estado real que seguirá el sistema? Es decir, si vamos sacando fotos de la superficie del agua por ejemplo cada segundo, ¿cómo determinar el aspecto que presentará el agua en cada fotograma?

La respuesta viene del hecho de que la naturaleza es económica en todas sus acciones. La dinámica del campo será aquella que minimice la acción invertida; es decir, será aquella que mantenga estacionaria la diferencia entre la energía cinética y la potencial de entre el conjunto del sistema (a esa diferencia de energías se la denomina lagrangiano L = T -V). Así pues, si queremos prever el aspecto del campo cada cierto intervalo de tiempo, sólo tenemos que seleccionar de entre todas las trayectorias posibles aquellas que minimizan la variación de la acción.

Esa respuesta es sin embargo válida en mecánica clásica pero no en mecánica cuántica y mucho menos en la teoría cuántica de campos. De todas formas al entrar en juego grandes números de partículas la respuesta es no obstante similar: el aspecto del campo cada intervalo de tiempo será en principio imprevisible (debido a los postulados de la mecánica cuántica), pero la probabilidad de cada estado final posible irá relacionado directamente con lo cercano que dicho sistema se encuentre del estado de mínima acción del que hablamos antes. Cuanto más se asemeje cierto estado final al estado de mínima acción, más probable será encontrar al sistema microscópico en ese estado. Aunque como decimos de todas formas se pierde el determinismo en nuestra capacidad de observación.

Acoplamiento entre campos.

Ya hemos visto que el mundo fenoménico se encuentra constituido por cientos de campos que comparten (aunque no se mezclan) el espacio-tiempo. El símil es el de una piscina llena de cientos de líquidos insolubles. Todos ellos independientes o libres y poseyendo unas cualidades infinitesimales particulares (masa, carga, etc.). Pero si eso fuese todo, el mundo sería muy aburrido e inerte. No ocurriría gran cosa en realidad. No obstante, resulta que todos esos líquidos como hemos comentado anteriormente son capaces de interaccionar entre ellos cuando se dan las circunstancias adecuadas. En nuestra alegoría existe la probabilidad de que una gota de cierto líquido se transforme espontáneamente en una o varias gotas infinitesimales de otro líquido (aparecen crestas en un campo y quedan planos otros). Esta transformación supone en realidad la creación y aniquilación de partículas de distintos tipos, pero a nivel más fundamental sabemos que lo que ocurre es que una vibración de cierto tipo de líquido se convierte en una vibración de otro tipo de líquido, o se reparte en varias vibraciones (de menor energía) en distintos tipos de líquidos mientras que la vibración en el campo o fuente original desaparece y queda plana.

Imagina el caso de que la cresta de una onda de agua en nuestra piscina choca con la cresta de una onda de aceite y como resultado ambas crestas desaparecen al mismo tiempo que aparecen varias crestas de mercurio que se mueven en direcciones opuestas (por poner un ejemplo).

El caso es que estas apariciones y desapariciones de crestas en los campos suponen la aparición y desaparición de partículas del tipo de cada campo, y la única regla que la Naturaleza necesita respectar es la conservación en el estado inicial y final (sin importar los estados intermedios) de las tradicionales cantidades fundamentales denominadas masa, momento lineal, momento angular, energía, carga, color, número leptónico, etc. Es decir, que son las leyes de conservación y el principio de mínima acción las únicas herramientas de la que se vale el mundo natural para guiar y dirigir el fenómeno. Todo lo que en cierto estado sea viable que pase (al respetarse las leyes de conservación) puede pasar. Y dado que todo puede ocurrir, el Universo necesita de alguna guía que le permita decidir y dictaminar qué es lo que le "gusta" o "desea" que pase. Para eso se basa en el principio de mínima acción, y para el cálculo de dicha acción hace uso del ya mencionado lagrangiano L. Por último, ese lagrangiano viene determinado por una función de campo φ(x, t) (y su derivada espacio-temporal) para cada uno de los cientos de campos. De manera que el lagrangiano general está compuesto por cientos de términos dependientes de cientos de funciones de campo φ(x, t), Ψ(x, t), Φ(x, t), etc. Finalmente, aparte de los términos en L dependientes exclusivamente de las funciones de campo y sus derivadas, existen términos interrelacionados entre campos. Esos términos son de la forma: λ[Φ(x,t)Φ(x,t)Ψ(x,t)].

Son precisamente estos términos que mezclan funciones de varios campos los que son capaces de hacer desaparecer una cresta de onda en cierto campo y hacer aparecer dos crestas en campos distintos. En la fórmula anterior por ejemplo tenemos la posibilidad de que una cresta en Ψ desaparezca (acabe en un valle plano) y por contra aparezcan dos nuevas crestas de ola en Φ (siempre que se mantengan las leyes de conservación, puesto que en caso contrario la aportación al lagrangiano de esa combinación sería de 0). Mencionar por último que la probabilidad de que tal evento de creación y aniquilación se produzca viene determinado por la constante de acoplamiento λ. 

En resumen se puede entender que la dinámica del sistema la dictamina en último término un lagrangiano L compuesto por una grandísima cantidad de términos aditivos cada uno acompañado de su constante de acoplamiento. Gráficamente esta suma infinitesimal se representa por los famosos diagramas de Feynman, cada uno de los cuales representa uno de estos infinitos términos y su probabilidad. Finalmente, cuando observamos, la Naturaleza selecciona (colapsa a) un estado final de entre todos los posibles siguiendo la señalada distribución de probabilidad.

El símil en 3 dimensiones.

Si queremos acercar más el símil de la piscina al mundo real podemos imaginarnos no ya la superficie del agua, sino inmersos en el interior de la piscina. Y podemos además utilizar la analogía de corrientes en lugar de hablar de crestas y valles de olas. En cierto sentido realmente se puede decir que vivimos sumergidos en un inmenso mar de mares...y el cálculo que realiza el Universo en cada instante para determinar qué debe pasar en cada punto infinitesimal del Universo viene descrito por un complejo lagrangiano L muy similar al siguiente:

¿Qué probabilidad hay de pasar de un estado inicial |i>  a un estado final |f>?

Para poner en perspectiva todo lo dicho, tomar por ejemplo un periodo de tiempo determinado por t1 y t2, suma la aportación de cada una de las infinitas trayectorias (con creaciones y aniquilaciones de todo tipo) que el lagrangiano anterior permite en este intervalo de tiempo, premultiplica por el estado final  y multiplica por el estado inicial. Finalmente eleva este resultado al cuadrado y ya tienes la probabilidad de observar el estado final |f> partiendo de |i>. Esta es precisamente la máxima capacidad de previsión que permite el modelo estándar de partículas. Se acabo aquello de calcular observables con certezas puesto que ahora sabemos que debemos limitarnos a calcular distribuciones de probabilidad. Y cabe recordar que esta limitación no es algún tipo de incapacidad humana, sino que es causa del modo en que funciona el mundo en esencia: finalmente "Dios" sí juega a los dados, y lo hace incesantemente en cada momento y en cada lugar infinitesimal. Así pues no es ya sólo que vivamos en un mar de mares, es que vivimos en un gigantesco mar de probabilidades.