viernes, 9 de enero de 2015

La probabilidad del cáncer

Vamos a suponer, de partida, lo que las teorías más tradicionales sobre el cáncer dan por supuesto: que el proceso que da origen al cáncer, es un proceso estocástico y lineal; donde ciertas mutaciones ocurridas al azar, confieren a una célula normal el estatus de maligna. En estas teorías, los factores ambientales mutágenos (tabaco, productos químicos, etc.) favorecerían el proceso, al aumentar la media de las mutaciones en la división celula. 

Hagamos el análisis de probabilidades de que un proceso así ocurra:


La tasa de mutación en los mamíferos sigue la distribución de 1 error por cada  2,2·10^9 bases núcleotídicas (http://es.wikipedia.org/wiki/Mutaci%C3%B3n#cite_note-14). 

Suponemos la alteración de, al menos, 100 genes en la aparición del cáncer maligno.

C = “número de genes alterados mínimos para que aparezca el tumor maligno” = 100 genes.
T = “total número de genes en el genoma humano” = aprox.  20.000 genes (http://es.wikipedia.org/wiki/Genoma_humano).

P(M) = C / T = 100 / 20.000 = 0.005, siendo P(M) =  “la probabilidad de que si se altera un gen, que este sea de entre los 100 tumorales y no otro”.

P(D) = 1 / N = 1 / 2,2·10^9  = aprox. 0,0000000005, siendo P(D) = "la probabilidad de error en cada división".

A = “se altera un gen con capacidad tumoral en una división”
P(A) = P(D∩M) = P(D)·P(M) = 0,0000000005 * 0.005 = 0,0000000000025 (probabilidad de que en una división ocurra una alteración,  y de que esta alteración ocurra en un gen con un potencial de otorgar capacidad cancerígena).

Sigamos:
La probabilidad de que en una división se toque un gen con potencial tumoral es pues de  0,0000000000025. Pero también hay que tener en cuenta, que esa mutación en el gen debe ocurrir en las bases correctas y del modo correcto; de modo que la célula consiga la capacidad adecuada y no otra que la haga inviable o la mate:

Hay 20.000 genes en el hombre, y 3·10^9 pares de bases, por lo que; de media, cada gen tiene 150000 bases.

P(G) = 150000 * 100 / 3·10^9 = 0,005, siendo P(G) = "probabilidad de que, si se copia mal una base, que sea una base dentro de un gen con potencial de favorecer la malignidad".

Siendo muy generosos, y para facilitar cálculos; vamos a suponer que para conseguir despertar una propiedad de malignidad en un gen con potencial para ello, hay que modificar sólo 1 base concreta:


P(G') = 1 / 150000 = 0,0000066, siendo P(G') = "probabilidad de que si se altera una base dentro de un gen con potencial cancerígeno, que sea la base correcta que da el potencial, y no otra base no deseada".


P(G'') = P(G)·P(G') = 0,005 * 0,0000066 = 0,000000033, siendo P(G'') = "la probabilidad de que si se copia una base, esté dentro de un gen con potencial cancerígeno, y de que además se copia la base que despierta esa propiedad y no otra".


Por lo tanto:

Si A' = “en una división ocurre un error al copiar una base, dicha base pertenece a un gen con potencial cancerígeno, y además la base que muta es la adecuada dentro del gen para despertar la propiedad de malignidad”.

P(A') = P(D∩G'') = P(D)·P(G'') = 0,0000000005 * 0,000000033 = 0,0000000000000000165 (en una división, ocurre un error en una base, y esa base es la adecuada para despertar una propiedad cancerígena).

Según algunas fuentes, se produce un millón de divisiones celulares cada minuto, es decir; 1440 millones de divisiones al día. La media de edad está en 70 años (aprox.), por lo que se producen una media de:

70 años = 70 * 365 = 25550 días * 1440 millones al día = 36792000000000 divisiones durante toda una vida.

La distribución de probabilidad que indica la probabilidad de un determinado número de aciertos, tras n repeticiones es una binomial(http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial).

Así que, la probabilidad de que se acumule de un modo estocástico en una misma célula una alteración en los 100 o más genes implicados en la aparición del cáncer; teniendo en cuenta las 36792000000000 divisiones que tienen lugar durante toda la vida de un hombre es la siguiente:

X ~ B(367920000000000,0000000000000000165)

Como el cálculo de una binomial con números tan grandes es complicado, vamos a aproximar la misma a una distribución normal:

Media  = n * p = 36792000000000 * 0,0000000000000000165 =  0,000607068
Desviación típica = sqrt(n * p * q) = sqrt(0,000607068 0,9999999999999999835) = 0,024638749

Se aproxima pues a X ~ N(0,000607068, 0,024638749).


Como se ve, de un modo puramente estocástico, es prácticamente imposible que durante la vida de una persona se produzca la acumulación de las cien o más mutaciones que dan lugar al cáncer. Es más, para aumentar la probabilidad lo suficiente aumentando el número de mutaciones medias por cada división, habría que pasar de 2,2·10^9  a un orden de magnitud 4 o 5 veces mayor:  es decir, un error en la copia por cada 2,2·10^4 bases. Esto no hay mutágeno que lo logre y, de lograrlo, mataría al individuo por mal funcionamiento del organismo en general, antes de que pudiese aparecer un cáncer.


Para que se pudiese dar un sólo cáncer de modo totalmente aleatorio, haría falta contar las divisiones celulares totales de 10 millones de personas para que se pudiese dar un caso. Y todo esto, además, sin tener en cuenta la capacidad que tiene el cuerpo de defenderse. Lo que podría llevar a la muerte de líneas tumorales antes de que pudiesen acumular todas las mutaciones necesarias. De un modo aleatorio (y ayudado por factores ambientales), se podrían dar, siendo más realistas, quizás, un caso por cada cien millones de habitantes.


Sin embargo, y por desgracia, el cáncer es algo mucho más común en la sociedad: ¿cómo puede ser?


La única solución imaginable, es la de que el proceso que da origen al cáncer no siga realmente una proporción lineal. Que algún mecanismo facilite mucho su ocurrencia. Algo, capaz de conseguir acumular esas mutaciones sin dejarlo todo en manos del azar. Y este mecanismo, no puede ser más que el proceso de selección natural darwiniana.


De hecho, análisis similares a los realizados en esta entrada, son los que han levado a mucho científicos, a proponer el origen del cáncer, como el resultado efectivo de un proceso de selección natural interno al organismo; donde acontecería una competición, en la que las células que mejor se rebelan contra el control del organismo, serían las que más se replicarían y sobrevivirían. De este modo, una vez acontecieran unas pocas circunstancias previas, daría comienzo una competición interna entre una determinada cepa celular y el resto del organismo: dicha cepa se vería favorecida por un proceso de selección natural que favorecería la acumulación de mutaciones con capacidad de malignidad de un modo no lineal, y de no ser pronto detenida, acabaría por desarrollar con el tiempo todas las características que conocemos como cáncer.


Un saludo.


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