"No hay que tomarse nada a pecho -se repite quien se enoja consigo mismo cada vez que sufre y no pierde ninguna ocasión de sufrir." El aciago Demiurgo (Emil Cioran)
Dentro de un rato tengo que visitar a un familiar muy querido que ha sido diagnosticado con una enfermedad terminal. Y como no puedo, o al menos yo no sé, como expresar con la suficiente dignidad literaria la tristeza que me produce tener que compartir estos momentos con una persona que sabe que sus días están contados; una persona que por otra parte ha sido siempre alguien alegre y optimista y muy buena persona, no tengo más remedio que aprovecharme del arte ya existente para transmitir mi pesar. En concreto, quiero de manera anónima dedicar a este familiar y amigo esta obra maestra. Una Sevillana de Camarón de la Isla que describe con muy pocas palabras en sus cuatro coplas la vida de toda persona: creencia, amor, deseo, y sufrimiento (junto a la constante lucha por evitar este sufrimiento y alcanzar esa ilusión que es la felicidad):
"La Matemática no es real, pero «parece real». ¿Dónde está ese lugar?"
(Richard Feynman)
I. Introducción.
Una de las maravillas modernas que por desgracia pocas personas aprovechan es el enorme potencial de cursos y tutoriales disponibles de manera gratuita que te permiten aprender casi de todo y con un coste irrisorio (cuando no directamente gratuito).
El contenido de este artículo se basa precisamente en uno de esos recursos de un valor incalculable que se encuentra disponible para todo aquel que quiera aprovecharlo: se trata de una serie de cursos completos sobre mecánica cuántica ofrecido por el prestigioso centro MIT (Massachusetts Institute of Technology), el cual consiste literalmente en la grabación y transcripción de las clases del prestigioso profesor Barton Zwiebach.
El curso en sí es bastante denso y es complicado que alguien sin una buena base matemática y física pueda seguirlo con garantías sin perderse en la primera clase, pero para eso existen otros recursos más orientados en la introducción a la física moderna y que permitirían luego continuar con este tipo de recursos que, aunque igualmente son a veces introductorios, dan normalmente mucha base ya por conocida (sobre todo a nivel matemático). Así que, para todos aquellos interesados en introducirse en el mundo de la física moderna, os enlazo a continuación dos recursos que creo imprescindibles en este sentido: La Teoría de la Relatividad y La Mecánica Cuántica. Estos dos cursos tienen la ventaja de que están en castellano y no dan apenas ninguna base matemática ni física por sentada (a parte de la normal exigida a un estudiante de bachillerato). Por cierto que el autor de estos estupendos textos es Armando Martínez Téllez, y aprovecho para agradecerle desde aquí el enorme esfuerzo que puso en desarrollar semejante obra.
Pues bien, como digo, el contenido de este artículo va a versar sobre una clase concreta del profesor Barton Zwiebach en el curso Mastering Quantum Mechanics. En concreto, en la clase en que hace una pequeña introducción al principio variacional aplicado a la mecánica cuántica.
El desarrollo de este artículo será el siguiente: primero os dejaré ver los vídeos en directo de esta clase concreta, posteriormente hará un pequeño resumen aclaratorio para los que no tengan la capacidad matemática requerida para entender completamente el vídeo exclusivamente a partir de la clase del profesor Barton Zwiebach, y por último haré una discusión (filosófica) sobre las consecuencias que estos hechos físicos (fenoménicos) pueden tener en y sobre la base que da origen y sustento a nuestro Universo.
II. El Principio variacional, una introducción de su aplicabilidad a la mecánica cuántica.
Os enlazo a continuación directamente la clase donde este profesor introduce de manera teórica y práctica (con un ejercicio) la aplicación del principio variacional en mecánica cuántica. No es necesario entender todo el contenido de los vídeos, e incluso puedes saltarte directamente dichos vídeos si tu nivel de inglés o de matemáticas no es suficiente para seguirlos en absoluto. Como digo, en el siguiente punto de este artículo intentaré aclarar el asunto de una manera más asequible para poder finalmente discutir con éxito algunas de las posibles implicaciones filosóficas que todo lo tratado en este terreno físico podría tener. Así pues, no os asustéis demasiado con el siguiente contenido e intentad al menos entender todo lo que podáis:
The variational approach to energy eigenstates:
Relaxing the normalization condition. Properties of functional:
Poned especial atención a lo que comenta el profesor a partir del minuto 03:45 porque es de vital importancia para lo que trataré a continuación. De hecho, os dejo a continuación la transcripción de este interesante comentario:
It seems that the
ground state energy
is the minimum of
this functional.
And what is
interesting as well is
that when you get
the minimum, you
will have gotten a ground
state wave function.
So the ground state
wave function actually
is the thing that
minimizes this functional
and gives us a value of
the ground state energy.
A little more in a
couple of minutes.
Let's do an example.
How do we use this?
So now it's-- if you think
about this carefully it's kind
of dizzying, because what
is a functional, really, is,
in some sense, a function in
an infinite dimensional space.
Because a function
itself is specified
by infinitely many numbers
that you can change.
So how many dimensions
you have is how many ways
you can move your hand that
are linearly independent.
But if you have a function,
and you can change it.
You can change it here, or
you can change it there,
or you can change
it there or there.
And those are all
orthogonal directions,
so you're finding
a critical point.
So when you find
the critical point,
you should imagine that you're
plotting a function that is not
one-dimensional function or
two-dimensional function,
but it's infinitely-dimensional
function.
Direction one, direction
two, direction-- infinitely
many directions, and suddenly
in this infinitely many
directions, you find
the critical point.
It's really incredible that
one can do these things.
So you're at that
critical point,
and you can deform
the energy eigenstate
by making it a little
fatter here or thinner
here or up there.
And those are the
infinite directions.
In any direction that
you move, the energy
goes up, because you're
at the global minimum.
It's pretty amazing.
Example: upper bound for the ground state energy of a delta-function potential:
III. Aclaración sobre el asunto.
Voy a intentar a continuación aclarar un poco todo lo comentado por el profesor, aunque lo haré a expensas de introducir ciertas simplificaciones que en aras de la simplificación a veces llevarán incluso a ciertas "inexactitudes" teóricas pero lo importante y mi intención es que se entienda el trasfondo de lo que pretendo transmitir y no los detalles concretos (que para eso ya están las clases del curso enlazado).
En el vídeo se comenta mucho el "intimidante" concepto de Hamiltoniano (simbolizado como una H), pero no debemos asustarnos por este concepto: en realidad, grosso modo, es simplemente la suma de la energía cinética (simbolizada normalmente por K) y la energía potencial de un sistema (V(x)):
donde m es la masa del cuerpo, y p simboliza el momento lineal (p = m·v, siendo m su masa y v la velocidad).
Pues bien, se puede comprobar cómo trabajando simplemente sobre esta suma de energías es posible determinar la dinámica o comportamiento mecánico del sistema. Por poner un ejemplo, tomando el caso del oscilador armónico simple sabemos que el potencial y la energía cinética del sistema son:
y por tanto el Hamiltoniano es:
Pues bien, trabajando algebraicamente sobre este Hamiltoniano (utilizando un método matemático denominado el paréntesis de Poisson) llegamos a lo siguiente:
Esta expresión describe totalmente el cambio infinitesimal en el tiempo de este tipo de sistemas y por lo tanto su dinámica. Pero no te preocupes por los detalles, lo importante es comprender que el concepto de Hamiltoniano (que no es otra cosa que la cantidad de energía de un sistema) es capaz de describir el comportamiento dinámico de cualquier sistema (del que el oscilador armónico simple es sólo un ejemplo acontecido al fijar el potencial a V(x) = 1/2·k·x^2).
En nuestro mundo hay una infinidad de expresiones distintas para el potencial V(x), siendo precisamente la suma de este potencial junto con el estado cinético (K) del sistema lo que determina la dinámica de todo. Es decir; que todo en el mundo se mueve del modo en que se mueve debido al valor infinitesimal concreto de H en cada lugar del espacio-tiempo.
En mecánica cuántica, este hecho de H determinando la dinámica de un sistema se mantiene, aunque añadiendo la dificultad de que lo que ahora evoluciona en el tiempo es una función de onda de probabilidad describiendo el posible estado del sistema en cada momento. Es decir; que en mecánica cuántica no se trabaja directamente con trayectorias puntuales de partículas, sino con el modo en que la función de onda va variando y determinando así la probabilidad del estado de estas partículas. Las partículas conocemos ya que no van, como se representaba tradicionalmente en física clásica, recorriendo el espacio de manera infinitesimal paso a paso, sino que simplemente sabemos que existe una función que en cualquier momento va "indicando" la probabilidad de que la partícula esté en tal o cual estado físico (funciones de onda -a veces se la conoce como ondas de materia- cuyos efectos podemos por cierto medir y observar en el laboratorio, pero a las cuales no podemos observar en sí mismas).
En mecánica clásica, si tenemos en un tiempo t una partícula (o el centro de masas de un cuerpo) en cierta posición en el eje-x, y conocemos la energía cinética y potencial del sistema, podemos determinar automáticamente (en teoría) dónde estará la partícula transcurrido un intervalo infinitesimalmente pequeño de tiempo dt. En mecánica cuántica esto no es así. En el dominio de lo muy pequeño no es posible determinar nunca con certeza el estado futuro de un sistema, puesto que en realidad no es el sistema lo que cambia, sino la función de onda que determina la probabilidad de encontrar en cierto estado a dicho sistema.
Por lo tanto, y resumiendo, lo que el Hamiltonianodetermina en el caso microscópico es la dinámica (el cambio) en la función de onda que guía la probabilidad de encontrar un sistema en cierto estado. El estado concreto del sistema (el observable) es indeterminado hasta la hora de la medición, pero aun así, el Hamiltoniano nos permite conocer de manera determinada en cada momento infinitesimal el modo en que esta función de probabilidad va variando. Es decir; que lo que la mecánica cuántica nos viene a insinuar, es que un electrón realmente no se traslada infinitesimalmente por el espacio-tiempo como una partícula puntual de materia, sino que lo que realmente ocurre es que existe una función para cada sistema la cual contiene (devuelve) un valor real positivo (al elevarse al cuadrado) indicando la probabilidad de encontrar al sistema en cierto estado (observable) en cada posición del espacio completo.
Una partícula, de este modo, posee siempre una función de onda "acoplada" la cual indica la probabilidad de que dicha partícula posea cierto estado concreto al momento de realizarse una medición. Y como estamos hablando de probabilidades, se debe cumplir además que la suma infinitesimal (integral) de esta función de probabilidad sume 1. Este hecho supone que, por ejemplo; el estado en la posición de una partícula digamos en el eje-x, vendrá determinada por una función de onda que arrojará un valor real y positivo (al elevarse al cuadrado) en cada posición en el eje-x para cada punto del Universo de lado a lado. Una infinidad de valores reales que deben sumar infinitesimalmente (integrando) 1. Por lo tanto, como curiosidad, debemos tener en cuenta que aunque la probabilidad sea muy baja, es posible que una partícula que se encuentre actualmente (tras medirse su posición) en la misma habitación en la que te encuentras tú, transcurrido cierto periodo de tiempo podría aparecer repentinamente en una posición a cientos de kilómetros de tu casa. Y eso es posible por lo que ya hemos comentado, la partícula no se traslada realmente de un punto a otro, sino que simplemente "aparece" representada como tal en el momento de su interacción tras haber sido guiada previamente por una onda de probabilidad:
¡Vale así con que la función de probabilidad en la posición de una partícula de tu habitación tenga un valor mayor que cero en una posición del espacio a cientos de kilómetros para que efectivamente pueda llegar a ser detectada en dicho lugar en algún momento!
Matemáticamente, todo lo dicho se simboliza del siguiente (y críptico) modo mediante la famosa ecuación de Schrödinger:
Que, si incluimos lo que simboliza el operador Hamiltoniano (H), nos deja:
donde vemos que se trata de nuevo de sumar la energía cinética y potencial del sistema. Observad no obstante, que la energía cinética tiene un aspecto algo distinto de su homónimo clásico en virtud del modo en que se representa el operador momento lineal (p) en mecánica cuántica.
La función que aparece a la derecha del Hamiltoniano (de H), es la función de onda que hemos venido comentando, y el hecho de que la variación de dicha función en el tiempo (derivada parcial de la izquierda) dependa de H (a la derecha de la ecuación), es lo que representa el hecho ya mencionado de que el Hamiltoniano en mecánica cuántica lo que determina es el modo en que esta función de onda va variando en el tiempo, y no el cambio de facto del sistema en sí.
El sistema puede (y de hecho de algún modo "está" superpuesto) en cualquier estado posible determinado por esta función de onda concreta, y podemos por tanto encontrar al sistema en cualquier estado permitido donde la probabilidad (el cuadrado con el conjugado complejo de la función de onda) indique un valor positivo mayor que cero. Evidentemente, a mayor probabilidad, mayor esperanza de encontrar al sistema en cierto estado, pero en principio, cualquier estado permitido (por improbable que sea) es posible que acontezca. El único requisito como ya dijimos es que la suma infinitesimal (integral) de la probabilidad en cada punto del espacio completo sume 1, lo cual matemáticamente se puede simbolizar (tomando en cuenta sólo el eje-x) como:
Por otra parte, cuando H no depende del tiempo y es simplemente una función de la posición (donde el potencial toma la forma V(x) en lugar de V(x, t)), es posible encontrar soluciones para la función de onda que son también independientes del tiempo y que dependen de estados estacionarios de energía E. Fijémonos en este sentido en la siguiente función de onda:
Este tipo de función de onda satisface la ecuación de Schrödinger cuando el potencial (y H) sólo dependen de la posición (y no del tiempo), dando lugar a un hecho muy interesante que implica que tras un poco de álgebra toda aportación de la variable t termina desapareciendo de la ecuación dando lugar así a interesantes estados estacionarios independientes del tiempo.
Y aunque no sea imprescindible para continuar con la línea argumental de este artículo, vamos a derivar a continuación brevemente de todas maneras esta expresión matemática de la que hablamos: ligada, estática y estacionaria.
Partimos de la ecuación de Schrödinger:
Y como hemos dicho, sustituimos la función de onda dependiente del tiempo por:
Con lo cual nos queda:
Derivamos ahora en la izquierda y simplificamos un poco:
Podemos ver que el estado del sistema ahora ya no depende del tiempo por ninguna parte (ya no hay variable t en las ecuaciones). A esta ecuación se la conoce como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y tiene mucha relevancia en el estudio de la mecánica cuántica.
Pues bien, es precisamente sobre este tipo de sistemas a los que aplica el profesor Barton Zwiebach el principio variacional.
En concreto, se propone explicar la siguiente inecuación:
Esta fórmula (la cual el profesor se encarga de probar), simplemente nos dice que el estado energético más básico (o estado fundamental) en un sistema ligado (independiente del tiempo) es siempre menor o igual que el valor devuelto al utilizar cualquier función de onda arbitraria e introducirla en la expresión de la derecha que simboliza simplemente el valor esperado para el Hamiltoniano concreto del sistema en cuestión ().
Y esto es lo verdaderamente increíble del asunto: el Universo de alguna manera se las apaña para, dado H (la energía total de un sistema) hallar de entre una infinidad de funciones de onda arbitrarias posibles, siempre aquella que promete el valor energético mínimo global.
Matemáticamente esto se simboliza mediante el uso de lo que se conoce como un funcional F[f(x)], el cual es como una especie de meta-función capaz de recibir como entrada no el valor de una variable concreta, sino una función completa; y que aun así es capaz de devolver como resultado un número (en este caso concreto, un número cuyo valor es siempre mayor o igual que aquel que minimiza de manera global el estado energético mínimo del sistema).
Es decir; que el fenómeno del mundo se presenta siempre de modo que la Naturaleza es capaz de discernir instantáneamente para cada sistema ligado qué función de onda es la adecuada para lograr que ninguna otra de entre la infinidad de funciones arbitrarias posibles pueda devolver un valor menor que ese mínimo global existente: ¿cómo es posible tal cosa? ¿Cómo puede el Universo saber y conocer en cada instante y situación este mínimo global? ¿Cómo puede entresacar (calcular, computar o como se quiera entender) de entre la infinidad de posibilidades aquella función matemática que supone el mínimo admisible que respeta además el resto de condiciones relacionadas con las condiciones particulares energéticas (H) de cada sistema particular?
Ejemplo práctico.
Generalmente podemos especificar cuatro condiciones que debe cumplir toda función de onda independiente del tiempo ψ(x) para que sea una solución matemática físicamente admisible:
1) ψ(x) debe satisfacer la ecuación de onda de Schrödinger.
2) ψ(x) debe ser una función continua.
3) dψ(x)/dx debe ser continua.
4) ψ(x) → 0 conforme x → ±∞
Consideraremos ahora, además, el caso en el cual el potencial V(x) es la de un pozo de potencial especificado de la siguiente manera:
V(x) = 0 para |x| < a V(x) es cualquier función tal que V(x) > E para |x| > a
Un ejemplo de este tipo de situación en una dimensión sería la del siguiente gráfico:
Sin embargo, y por simplicidad matemática, tomaremos en cuenta el caso concreto más sencillo de este tipo: el de una partícula ligada a un potencial cuadrado de pareces infinitamente altas y restringida por tanto a moverse a lo largo de un segmento de recta de longitud L en una especie de caja:
En este caso, dentro de la caja el potencial es constante y lo podemos igualar por tanto a cero V(x) = 0; y para que la partícula no pueda salir de la caja, podemos considerar que el potencial fuera de la misma es tan grande que podría considerarse infinito, lo cual efectivamente confina a la partícula a permanecer atrapada en la caja de modo tal que la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja es igual a cero y por lo tanto la función de onda ψ fuera de la caja debe siempre ser igual a cero. Por lo tanto, en estos casos concretos la energía sólo se verá afectada por la componente cinética.
La ecuación de Schrödinger se reduce pues a:
Se conoce, por otra parte, que la solución general para este tipo de ecuación diferencial es:
Pero no toda función de onda de este tipo es físicamente válida en esta situación, puesto que hay que cumplir con las 4 condiciones de las que hablamos anteriormente, con lo que, para empezar; la función de onda ψ debe ser igual a cero fuera de la caja (puesto que en el caso que estamos considerando no es físicamente posible que la partícula tenga ninguna probabilidad de salir de la caja), y en este sentido es también requerido que ψ no tenga una discontinuidad en los puntos x = 0 o x = L (es decir, que en esos puntos exactos de x igual a 0 y L, ψ debe valer cero). El término senoidal de la anterior función de la función de onda ciertamente cumple con este requisito en el punto x. Pero el término cosenoidal no lo cumple, ya que el coseno de cero es igual a 1, razón por la cual tenemos que tomar la constante de integración B como igual a cero.
Por otra parte, para que en el punto x = L el término senoidal (el cosenoidal ya lo hemos descartado con B = 0) de la función también sea igual a cero, tenemos que darle al argumento del término senoidal un valor igual a nπ/L, lo cual implica que la función de onda deberá tener la siguiente forma:
tomando por tanto el término senoidal como: (√2mE/ħ²)x = (nπ/L)x. Finalmente podemos despejar E de la anterior ecuación resultando lo siguiente:
para n = 1, 2, 3, 4, 5... Estas energías discretas son las únicas que físicamente tienen sentido en el Universo en casos concretos como en el aquí descrito. Gráficamente, podemos representar estas energías y su función de onda ψ relacionada del siguiente modo:
Por cierto que, una vez obtenido este resultado, podemos determinar la probabilidad (infinitesimal) dP(x) de encontrar a la partícula en un segmento infinitesimal dx de la recta que será igual a:
|ψ(x)|²dx = ψ*ψdx
Lo cual gráficamente se puede representar de este modo:
Pero pongamos para clarificar en el asunto números. Si, por ejemplo, concretamos que es un electrón el que se mueve dentro de un potencial de este tipo en un segmento de longitud L = 5 Angstroms, el cálculo de los niveles de energía permitidos sería entonces el siguiente:
En = n²(h²/8mL²) = n²(h²c²/8mc²L²) = n² (hc)²/8mec²L²
que para el nivel de energía n = 1 (estado energético básico, grouded state - Egs), y poniendo los valores conocidos para el electrón será igual a:
E1 = 1²(2.41·103 eV·Å)/[8(0.511 MeV)(5 Å)²]
E1 = 1.5 eV
Y este valor real E1 = Egs = 1.5 eV es precisamente el que el principio variacional nos indica como mínimo global para el caso de estudio concreto que hemos trabajado. El Universo se las apaña para "conocer" o "procesar" o "calcular" instantáneamente cual es la función f(x) = ψ(x) dentro de la infinita dimensión de funciones matemáticas posibles e imaginables físicamente consistentes con las reglas cuánticas capaz de devolver el valor global mínimo posible y coherente de energía alcanzable consistiendo en ser una función ψ(x) capaz de cumplir que es el mínimo del funcional matemático F[ψ(x)] que describimos antes.
Es decir; que la Naturaleza es capaz de discernir instantáneamente de entre una infinidad de funciones de onda matemáticas arbitrarias ψ(x) posibles, cual es aquella función ψ que consigue que dentro de un sistema ligado la E1 = Egs determinada por esa función ψ(x) cumpla que el valor real devuelto por el funcional sea el mínimo global posible de modo que siempre Egs <= F[ψ(x)].
Probemos este resultado.
Vamos a proceder a la elección de una función ψ'(x) de manera totalmente arbitraria de entre la infinidad de funciones de onda imaginables, y vamos a comprobar que dicha función arbitraria siempre resultará en valores mayores al ser aplicada al funcional F[ψ(x)] que el valor que obtenemos para la solución exacta ψ(x) que obtuvimos de manera analítica antes.
Al estarse tratando el sistema donde una partícula se encuentra encerrada en una caja donde el potencial V(x) fuera de la misma es infinitamente grande, no habiendo por lo tanto solución posible fuera de la caja y donde el potencial V(x) es igual a cero dentro de la caja, con lo que el operador Hamiltoniano queda descrito de la siguiente manera:
y la esperanza matemática del operador H estará dado entonces por:
Si introducimos ahora la función ψ(x) que calculamos de manera analítica antes, nos queda lo siguiente (normalizamos antes para obtener valor exacto del parámetro A dentro de ψ):
Que simplificando nos queda como:
Y tras un cambio de variables para poder llevar a cabo la integral definida obtenemos finalmente la solución:
Como vemos, E1 = Egs = ψ(n=1). Es decir; que realmente la función de onda ψ(x) es la función que minimiza el funcional F[ψ(x)] que recordemos lo definimos como:
Y esto supone que cualquier otra función de onda arbitraria imaginable ψ'(x) al aplicarse al funcional nos dará una expresión por encima siempre del mínimo global que hemos visto viene descrito por ψ(x). Podéis hacer la prueba en vuestras casas con cualquier función que cumpla con los requisitos físicos que ya vimos se requieren para ser una función de onda:
1) ψ(x) debe satisfacer la ecuación de onda de Schrödinger.
2) ψ(x) debe ser una función continua.
3) dψ(x)/dx debe ser continua.
4) ψ(x) → 0 conforme x → ±∞.
Para probar el principio variacional no es necesario cumplir el punto primero, y no debemos preocuparnos por tanto en que la función de prueba satisfaga la ecuación de onda de Schrödinger. Vale con que la función de prueba arbitraria (trial function) cumpla el resto de requisitos sumado al requisito particular de que ψ' no tenga una discontinuidad en los puntos x = 0 o x = L (es decir, que en esos puntos exactos de x igual a 0 y L, ψ' debe valer cero).
El caso de la partícula encerrada en una caja es tan básico y restrictivo que las posibilidades de funciones de onda arbitrarias son mucho más escasas que en el caso en el que participan potenciales más complejos. Por comodidad haré un caso de prueba muy sencillo con la siguiente función de onda matemática alternativa que deberá, si el principio variacional es correcto, devolver un resultado siempre mayor que el devuelto por la función de onda correcta que ya conocemos para este tipo de sistemas ψ(x) = sin(n*pi*x/L):
ψ'(x) = sin(5*n*pi*x/L)
El funcional F[ψ'(x)] resultará en este caso, teniendo en cuenta que:
igual a
que tras normalizar el resultado y añadir el término ħ/2m nos queda:
ψ' =
Con esto, y si el principio variacional es cierto, entonces debería darse que para este sistema Egs = E1 <=ψ'. Si metemos números y hacemos por comodidad a n = m = h = L = 1, tenemos entonces lo siguiente: Egs = E1 = h^2/8mL^2 = 1/8 = 0.125 eV <=
= 1.1049 eV
Si hubiésemos tomado por ejemplo nuestra función arbitraria de prueba como: ψ'(x) = sin(2*n*pi/L), el resultado habría sido el siguiente: Egs = E1 = 0.125 eV <=
= 0.1768 eV
Podemos ver como conforme aproximamos la función arbitraria ψ'(x) a la función que minimiza ψ(x) y que satisface la ecuación de Schrödinger para este sistema tan concreto que estamos estudiando el resultado (el valor real que desprende el funcional) se aproxima cada vez más al estado basal del sistema (el valor real de energía mínimo posible físicamente consistente), el cual como vemos supone que la Naturaleza logra siempre determinar la función de onda que consigue el valor energético mínimo global posible para cada sistema del Universo teniendo en cuenta instantáneamente todos los potenciales implicados (que determinan H).
IV. Discusión sobre las consecuencias filosóficas del asunto.
Filosóficamente hablando, todo lo tratado hasta ahora tiene unas consecuencias absolutamente desconcertantes (como ocurre casi siempre que se intenta comprender al mundo cuántico).
Hemos estudiado un caso muy simple con un potencial V(x) constante e igual a cero, pero en el Universo existen en realidad situaciones que no se parecen en absoluto en nada a estas condiciones ideales. En el mundo fenoménico, el potencial que afecta a cualquier sistema normalmente es dependiente del tiempo V(x,t) y por supuesto no suele ser constante y con frecuencia es multifactorial (existen múltiples potenciales que afectan a un mismo sistema concurrentemente). De hecho, salvo contadas excepciones, no somos capaces de tratar de manera analítica casi ningún sistema complejo, debiendo de conformarnos con aproximaciones numéricas la mayoría de las veces.
Estrictamente hablando, existe una combinacióninfinita de potenciales distintos en los que un sistema microscópico se puede ver afectado, con lo cual también H tiene una infinidad de posibles representaciones en el mundo. Estas representaciones se corresponden con infinidad de posibilidades matemáticas (funciones), algunas de las cuales cumplirán las condiciones impuestas en la ecuación de Schrödinger y otras no, a lo cual hay que añadir que de todas esas posibilidades que matemáticamente cumplen los requisitos, además el fenómeno se comporta siempre de modo que es la función matemática que posibilita minimizar globalmente el estado de energía mínimo alcanzable (y nunca otra) la que se ve finalmente representada en la realidad.
¿Pero cómo es tal cosa posible? ¿Cómo es posible que instantáneamente el mundo natural sepa detectar todas las condiciones del potencial que afectan a un sistema y actuar en consecuencia seleccionado de entre una infinidad de posibilidades matemáticas siempre aquella que satisface las condiciones generales que debe cumplir la función de onda a parte de todas las condiciones particulares añadidas por los potenciales locales?
Si bien es cierto que nuestro conocimiento efectivo del Universo se limita a derivar racionalmente afirmaciones que correlacionan bien con el fenómeno empírico, es de suponer no obstante que este fenómeno que tan bien sabemos describir y prever tiene algún tipo de sustento o soporte (alguna esencia) que permita el ser y la existencia. Pues bien, este sustento o soporte, que podríamos considerar como algún tipo de ente u "objeto" trascendente capaz de permitir que todo funcione del modo en que lo vemos funcionar, debe forzosamente poseer un potencial de "cálculo" o de "proceso" literalmente infinito. ¿Cómo podría si no, este sustento supra-fenoménico lograr este asombroso comportamiento? ¿Cómo podría si no este posible ente metafísico determinar con tanta precisión de manera instantánea en cada instante para cada circunstancia y sistema particular aquel comportamiento capaz de alcanzar el mínimo energético global posible de entre una infinidad de combinaciones ("matemáticas") posibles "conociendo" para ello de manera absoluta todas las condiciones potenciales que afectan e interrelaciona a la más mínima partícula de entre las miles de billones existentes (y eso sin tener en cuenta la infinidad de partículas virtuales que se supone pueblan por completo lo que a veces se denomina desde la teoría cuántica de campos como el "vacío" cuántico)?
Conclusión.
Determinar la dinámica de los sistemas cuánticos supone como hemos visto conocer para cada microsistema existente qué potenciales afectan al mismo, y además supone que tal conocimiento debe ser instantáneo a la par que se produce un "proceso" (o "cálculo") capaz de adaptar dicho potencial del sistema con una función de probabilidad que no sólo debe cumplir una serie de condiciones que determinan una ecuación muy particular (la ecuación de Schrödinger, la cual fuerza para más inri también a almacenar y a tener en cuenta el estado cinético de cada sistema de partículas), sino que además de entre esta infinidad de alternativas (matemáticas) viables debe entresacar y hacer efectiva (en el fenómeno) aquella que permita lograr siempre alcanzar el mínimo energético global.
Cada uno de estos "pasos de cálculo" supra-fenoménicos debe tratar de esta manera con una cantidad de información infinita, y debe además dar una respuesta mecánica (dinámica) en un tiempo finito (por lo que sabemos instantáneo), y esto nos puede hacer pensar que; probablemente, aquello que se encargue de dar soporte a nuestro Universo (sea lo que sea), debe poseer un potencial de cálculo y conocimiento sobre el fenómeno literalmente infinito.
Poco más podemos aventurar quizás sobre este supuesto soporte trascendental, pero insistamos en que parece irresistible creer que cualquier cosa que sea capaz que mantener y dirigir al fenómeno observable del modo observado debe poseer un potencial (¿poder?) ilimitado.
Y si bien es cierto que quizás podría el soporte del Universo ser el propio Universo (como muchos panteístas proponen, aunque tal afirmación suene siempre un poco tautológica), aun así, sería un Universo (el panteísta) con un increíble auto-potencial infinito sobre el cual nuestra razón apenas puede argumentar sin esquivar el asombro y el misterio.
Podemos concluir a modo de resumen, que sea la esencia del mundo la que sea, aquello que permite que estemos aquí todos especulando y argumentando sobre el modo en que vemos funcionar al fenómeno debe ser en sí un ente cuyo potencial sobre la determinación del ser empírico es total y absolutamente infinito e ilimitado; y eso es algo que como poco debería hacernos a todos reflexionar y sentirnos estupefactos, confusos, y como no, maravillados.
Se podría aventurar por tanto que, dado el asombroso modo en que funciona el fenómeno, cualquier persona cuya creencia vaya en estos temas trascendentales más allá de la duda y el agnosticismo es irremediablemente un inconsecuente dogmático. Cualquier persona, por ejemplo; que se declare atea (o panteísta; posturas que con frecuencia van de la mano), deberá ser capaz de dar una explicación sobre este increíble auto-sostenido Universo de infinito potencial de auto-determinación: ¿de dónde procede (y qué mantiene) este infinito poder existencial fenoménico? Igualmente, cualquier persona que se declare teísta o deísta deberá responder sobre la propia esencia de este infinito soporte supra-fenoménico: ¿de dónde procede y qué sustenta el infinito potencial de este "Creador"? ¿Qué es exactamente esa esencia infinita? ¿Por qué y para qué existe dicha esencia? ¿Cómo puede una esencia de infinito potencial necesitar nada (mucho menos crear y mantener un extraño mundo empírico como el nuestro)? Y, además, y sobre todo: ¿por qué existe esa esencia en lugar de no existir?
En mi modesta opinión, cuando uno empieza a estudiar con profundidad el comportamiento físico del mundo, existe un punto de no retorno en el que ya ninguna postura es capaz de satisfacer lógicamente estas tradicionales inquietudes filosóficas...¡y sin embargo es escepticismo es tan insatisfactorio!
Como dijo nuestro querido Richard Feynman: "Pienso que se puede afirmar tranquilamente que nadie entiende la mecánica cuántica... No te pongas a repetir, si puedes evitarlo '¿pero cómo puede ser así?' porque te irás por una coladera hacia un callejón sin salida del que nadie ha escapado. Nadie sabe cómo puede ser así". Y nadie sabe cómo puede ser así, añadiría yo, porque no es posible conocer el sustento sobre-natural (o la esencia natural) que da sustento al fenómeno. Algo que probablemente vaya a continuar siendo así durante toda la existencia de la humanidad. Y da igual los prejuicios que cada uno poseamos sobre el asunto: en el fondo, nadie sabrá nunca con certeza qué narices es en realidad el mundo.
En fin. Sigamos estudiando el fenómeno hasta el final de nuestros días, aunque sólo nos sirva a modo de entretenimiento.
